柱坐标系与球坐标系

柱坐标系

\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z \end{cases}

球坐标系

\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi \end{cases}

数学与物理的 θ 与 φ 是反过来的

按照国际标准化组织建立的约定（ISO 31-11），球坐标标记为 (r,\ \theta ,\ \varphi )，其中r代表径向距离，\theta 代表极角，\varphi 代表方位角，极角也称为倾斜（inclination）角、法线角或天顶（zenith）角。

但是数学上，为了与柱坐标系兼容，\varphi 代表极角，\theta 代表方位角

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雅可比矩阵（Jacobian Matrix）

对于一些柱体、锥体、球体求积分时，往往转换为对应的坐标系进行求解

如果直接代入对应坐标系，将会引起拉伸导致积分值不同

此时需要乘以雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的行列式抵消这一变化

对于从柱坐标系和球坐标系到空间直角坐标系的行列式，有

柱坐标系：
J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = r

球坐标系：
J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r\sin \varphi \sin \theta & r\cos \varphi \cos \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r\sin \varphi \cos \theta & r\cos \varphi \sin \theta \\ \cos \varphi & 0 & -r\sin \varphi \end{vmatrix} = r^2\sin \varphi

所以有：

柱坐标系：dx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz
球坐标系：dx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^2\sin \varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi

雅可比行列式为什么是这样

雅可比行列式代表 (x,y,z) 下体积微元——三个向量 (dr,d\theta,d\varphi) 围成的平行六面体的体积

众所周知，这就是行列式的含义： |\mathbf{r}_r\,\mathbf{r}_\theta\,\mathbf{r}_\varphi| （也可以写成 |\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}| ）展开就是雅可比行列式

其中 \mathbf{r} 表示 (x,y,z) 中的一点

\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(r,\theta,\varphi) \\ y(r,\theta,\varphi) \\ z(r,\theta,\varphi) \end{pmatrix}

三角函数积分

对于 \cos^n \theta 和 \sin^n \theta

当 n=1 时，使用基本的积分公式

\int \cos \theta \, d\theta = \sin \theta + C\\ \int \sin \theta \, d\theta = -\cos \theta + C

当 n 为奇数时，使用三角恒等式展开一个

例：

\int \sin^3 \theta \, d\theta = \int \sin^2 \theta \sin \theta \, d\theta = \int (1 - \cos^2 \theta) \sin \theta \, d\theta

然后令 u = \cos \theta，则 du = -\sin \theta d\theta

变为幂函数积分解决问题

当 n 为偶数时，使用幂减公式化简到奇数解决问题

例如，计算 \int \cos^4 \theta \, d\theta

对于 \cos^4 \theta，应用幂减法

\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\\ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}

例：

\cos^4 \theta = \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2\theta) + \cos^2(2\theta)) \\ = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2\theta) + \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}\right)

于是：

\int \cos^4 \theta \, d\theta = \frac{1}{4} \int (1 + 2\cos(2\theta) + \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}) \, d\theta

曲线积分和曲面积分（标量场）

这又称为第一类曲线积分和第一类曲面积分

曲线积分往往拆成好几段加起来算

基本采用参数方程的形式（广义上的转换坐标系）求解：转换为 t / u,v ，投影或者极坐标

所以还是可以使用雅可比矩阵（雾）

曲线积分

这个是雅可比矩阵的拓展（？）

用 t 表示曲线上一点时，(x,y,z) 下曲线微元的大小——dt的长度

有 ds = ||\mathbf{r}_t||dt

其中 \mathbf{r} 表示 (x,y,z) 中的一点

\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}

曲面积分

这个是雅可比矩阵的拓展

用 (u,v) 表示曲面上一点时，(x,y,z) 下面积微元的大小——两个向量 (du,dv) 围成的平行四边形的面积

有 dx\,dy\,dz=|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv

其中 \mathbf{r} 表示 (x,y,z) 中的一点

\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}

曲线积分和曲面积分（向量场）

这又称为第二类曲线积分和第二类曲面积分

不能直接用雅可比矩阵的思路去解决（但是可以间接）

曲线积分

对于曲线积分

\int_C Pdx+Qdy+Rdz = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{r}_tdt

用 t 表示曲线上一点时，(x,y,z) 下曲线微元的大小——\mathbf{r}_t 需要与 \mathbf{F} 点积得到值： \mathbf{r}_t\cdot\mathbf{F}

其中 \mathbf{r} 表示 (x,y,z) 中的一点，\mathbf{F} 表示向量场

\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}

\mathbf{F}=\begin{pmatrix} P(x,y,z) \\ Q(x,y,z) \\ R(x,y,z) \end{pmatrix}

对于曲线积分

\int_C Pdx+Qdy = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{r}_tdt

有额外的方式：用格林公式（Green formula）

\int_C Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy

它本质是将环量的计算转换为旋度的积分，要求面积在曲线方向的左侧

在二维空间旋度的正方向是逆时针

这意味着，随着x的增长(\partial x)，y增加(\partial Q)的程度和随着y的增长(\partial y)，x减少的程度(-\partial P)

这是二维旋度的本质，也可以用于记忆符号

曲面积分

对于曲面积分

\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = \iint_\Sigma \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)dudv

用 (u,v) 表示曲面上一点时，(x,y,z) 下面积微元的大小——\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v需要与 \mathbf{F} 点积得到值： \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)

其中 \mathbf{r} 表示 (x,y,z) 中的一点，\mathbf{F} 表示向量场

\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}

\mathbf{F}=\begin{pmatrix} P(x,y,z) \\ Q(x,y,z) \\ R(x,y,z) \end{pmatrix}

有额外的方式：用高斯公式（Gauss formula）

\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz

它本质是将通量的计算转换为散度的积分，要求法向量 \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v 朝向曲面外侧

这意味着随着某方向的增加，这个方向向量场增加的程度，这也是散度的本质